Để tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của các hàm số, bạn cần phải cho cả hai hàm số với nhau, di chuyển tất cả các số hạng chứa $ x $ sang phía bên trái và phần còn lại sang phía bên phải và tìm nghiệm nguyên của kết quả. phương trình. Cách thứ hai là lập một hệ phương trình và giải nó bằng cách thay một hàm này vào một hàm khác

Trường hợp của hai hàm tuyến tính

Hãy xem xét hai hàm tuyến tính$ f (x) = k_1 x + m_1 $ và $ g (x) = k_2 x + m_2 $. Các chức năng này được gọi là trực tiếp. Việc tạo chúng rất dễ dàng, bạn chỉ cần lấy hai giá trị bất kỳ $ x_1 $ và $ x_2 $ rồi tìm $ f (x_1) $ và $ (x_2) $. Sau đó lặp lại tương tự với hàm $ g (x) $. Tiếp theo, trực quan tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị hàm số.

Bạn đang xem: Giao điểm của 2 đường thẳng

Bạn nên biết rằng các hàm tuyến tính chỉ có một giao điểm và chỉ khi $ k_1 \ neq k_2 $. Ngược lại, trong trường hợp $ k_1 = k_2 $, các hàm song song với nhau, vì $ k $ là hệ số góc. Nếu $ k_1 \ neq k_2 $, nhưng $ m_1 = m_2 $, thì giao điểm sẽ là $ M (0; m) $. Bạn nên nhớ quy tắc này để giải quyết vấn đề nhanh hơn.

ví dụ 1
Cho $ f (x) = 2x-5 $ và $ g (x) = x + 3 $ cho trước. Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị hàm số.
Quyết định

Làm thế nào để làm nó? Vì hai hàm tuyến tính được trình bày, điều đầu tiên chúng ta xem xét là hệ số góc của cả hai hàm $ k_1 = 2 $ và $ k_2 = 1 $. Lưu ý rằng $ k_1 \ neq k_2 $, vì vậy có một giao điểm. Hãy tìm nó bằng cách sử dụng phương trình $ f (x) = g (x) $:

$$ 2x-5 = x + 3 $$

Chúng tôi di chuyển các điều khoản từ $ x $ sang bên trái và phần còn lại sang bên phải:

$$ 2x - x = 3 + 5 $$

Chúng ta nhận được $ x = 8 $ là hoành độ của giao điểm của các đồ thị, và bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ. Để làm điều này, chúng tôi thay $ x = 8 $ vào bất kỳ phương trình nào trong $ f (x) $ hoặc trong $ g (x) $:

$$ f (8) = 2 \ cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$

Vậy $ M (8; 11) $ - là giao điểm của đồ thị của hai hàm số tuyến tính.

Nếu bạn không thể giải quyết vấn đề của mình, hãy gửi nó cho chúng tôi. Chúng tôi sẽ cung cấp giải pháp chi tiết. Bạn sẽ có thể tự làm quen với tiến trình tính toán và thu thập thông tin. Điều này sẽ giúp bạn nhận được tín chỉ từ giáo viên một cách kịp thời!

Trả lời
$$ M (8; 11) $$

Trường hợp của hai hàm phi tuyến tính

Ví dụ 3
Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị hàm số: $ f (x) = x ^ 2-2x + 1 $ và $ g (x) = x ^ 2 + 1 $
Quyết định

Còn hai thì sao chức năng phi tuyến? Thuật toán rất đơn giản: chúng tôi cân bằng các phương trình với nhau và tìm các nghiệm nguyên:

$$ x ^ 2-2x + 1 = x ^ 2 + 1 $$

Chúng tôi trải các thuật ngữ có $ x $ và không có nó ở các vế khác nhau của phương trình:

$$ x ^ 2-2x-x ^ 2 = 1-1 $$

Tìm thấy abscissa điểm mong muốn, Nhưng nó không phải là đủ. Đơn vị $ y $ vẫn còn thiếu. Thay $ x = 0 $ vào bất kỳ phương trình nào trong hai phương trình của câu lệnh. Ví dụ:

$$ f (0) = 0 ^ 2-2 \ cdot 0 + 1 = 1 $$

$ M (0; 1) $ - giao điểm của các đồ thị hàm số

Trả lời
$$ M (0; 1) $$

Nếu hai đường thẳng không song song thì chúng sẽ cắt nhau tại một điểm. phát hiện tọa độ điểm giao điểm của 2 dòng được cho phép bằng cả phương pháp đồ họa và số học, tùy thuộc vào dữ liệu mà tác vụ cung cấp.

Bạn sẽ cần

- hai đoạn thẳng trong hình vẽ;- phương trình của 2 đường thẳng.

Hướng dẫn

1. Nếu các đường được vẽ gần hơn trên biểu đồ, hãy tìm giải pháp phương pháp đồ họa. Để làm điều này, hãy tiếp tục cả hai hoặc một trong các đường để chúng cắt nhau. Sau đó, đánh dấu giao điểm và hạ thấp vuông góc từ nó xuống trục x (oh, như bình thường).

2. Sử dụng dấu tích trên trục, tìm giá trị x cho điểm đó. Nếu nó nằm trên chiều dương của trục (bên phải dấu 0) thì giá trị của nó sẽ đúng, ngược lại nó sẽ là số âm.

3. True cũng phát hiện tọa độ của giao điểm. Nếu hình chiếu của điểm nằm trên mốc 0 là đúng, nếu nằm dưới là âm. Viết tọa độ của điểm dưới dạng (x, y) - đây là lời giải cho bài toán.

4. Nếu các đường được cho dưới dạng công thức y = kx + b, bạn cũng có thể giải bài toán bằng đồ thị: vẽ các đường trên lưới tọa độ và tìm lời giải bằng cách sử dụng phương pháp mô tả ở trên.

5. Cố gắng tìm ra giải pháp cho vấn đề bằng cách áp dụng các công thức này. Để làm điều này, hãy lập một hệ phương trình và giải nó. Nếu phương trình đã cho là y = kx + b, tính nguyên hàm cả hai vế với x và tìm x. Sau đó, cắm giá trị x vào một trong các phương trình và tìm y.

6. Nó được phép tìm lời giải bằng phương pháp của Cramer. Trong trường hợp này, đưa phương trình về dạng A1x + B1y + C1 \ u003d 0 và A2x + B2y + C2 \ u003d 0. Theo công thức của Cramer, x \ u003d - (C1B2-C2B1) / (A1B2-A2B1) và y \ u003d - (A1C2-A2C1) / (A1B2-A2B1). Chú ý, nếu mẫu số bằng 0 thì các đường thẳng song song hoặc trùng nhau và không cắt nhau.

7. Nếu bạn được cung cấp các dòng trong không gian ở dạng chuẩn, trước khi bắt đầu tìm giải pháp, hãy kiểm tra xem các dòng có song song không. Để làm điều này, hãy đánh giá các số mũ trước t nếu chúng tỷ lệ với, chẳng hạn, x = -1 + 3t, ​​y = 7 + 2t, z = 2 + t và x = -1 + 6t, y = -1 + 4t, z = -5 + 2t thì các đường thẳng song song. Ngoài ra, các dòng có thể cắt nhau, trong trường hợp đó hệ thống sẽ không có giải pháp.

8. Nếu bạn biết rằng các đường cắt nhau, hãy tìm giao điểm của chúng. Đầu tiên, đặt các biến từ các dòng khác nhau bằng nhau bằng cách thay thế có điều kiện t bằng u cho dòng đầu tiên và bằng v cho dòng thứ 2. Giả sử nếu bạn cho các đường thẳng x = t-1, y = 2t + 1, z = t + 2 và x = t + 1, y = t + 1, z = 2t + 8 bạn sẽ nhận được các biểu thức như u-1 = v +1, 2u + 1 = v + 1, u + 2 = 2v + 8.

9. Biểu diễn u từ một phương trình, thay thế vào một phương trình khác và tìm v (trong bài toán này u = -2, v = -4). Bây giờ, để tìm giao điểm, hãy thay các giá trị thu được thay cho t (không khác biệt, trong phương trình thứ nhất hoặc thứ hai) và nhận được tọa độ của điểm x = -3, y = -3, z = 0 .

Để coi 2 giao nhau trực tiếp Nó đủ để coi chúng trong một mặt phẳng, vì hai đường thẳng cắt nhau nằm trong cùng một mặt phẳng. Biết phương trình của những trực tiếp, nó được phép tìm tọa độ của điểm của họ Giao lộ .

Bạn sẽ cần

phương trình của các đường

Hướng dẫn

1. TẠI Tọa độ Descartes phương trình tổng quát của một đường thẳng có dạng như sau: Ax + By + C = 0. Cho hai đường thẳng cắt nhau. Phương trình của dòng đầu tiên có dạng Ax + By + C = 0, dòng thứ 2 - Dx + Ey + F = 0. Tất cả các chỉ số (A, B, C, D, E, F) phải được xác định theo thứ tự để tìm một điểm Giao lộ này trực tiếp cần phải giải hệ 2 phương trình tuyến tính này.

2.Để giải nó, thuận tiện là nhân phương trình thứ nhất với E và phương trình thứ hai với B. Kết quả là, các phương trình sẽ giống như sau: AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. Sau khi trừ đi phương trình thứ hai từ phương trình đầu tiên, bạn nhận được: (AE- DB) x = FB-CE. Otsel, x = (FB-CE) / (AE-DB). Bằng cách tương tự, phương trình đầu tiên hệ thống ban đầu nó được phép nhân với D, thứ hai - với A, sau đó lại lấy thứ nhất trừ đi thứ hai. Kết quả là y = (CD-FA) / (AE-DB). Các giá trị x và y thu được sẽ là tọa độ của điểm Giao lộ trực tiếp .

3. Phương trình trực tiếp cũng có thể được viết dưới dạng số mũ góc k, đường tiếp tuyến góc nghiêng của một đường thẳng. Trong trường hợp này, phương trình của đường thẳng có dạng y = kx + b. Bây giờ phương trình của dòng đầu tiên là y = k1 * x + b1, và dòng thứ 2 là y = k2 * x + b2.

4. Nếu quy đúng phần của 2 phương trình này, ta được: k1 * x + b1 = k2 * x + b2. Từ đây có thể dễ dàng nhận được x = (b1-b2) / (k2-k1). Sau đó, thay giá trị x này vào bất kỳ phương trình nào sẽ dẫn đến: y = (k2 * b1-k1 * b2) / (k2-k1). Giá trị x và y sẽ thiết lập tọa độ của điểm Giao lộ trực tiếp Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì chúng không có tất cả điểm thông dụng hoặc có vô số điểm phổ, tương ứng. Trong những trường hợp này, k1 = k2, mẫu số cho tọa độ của các điểm Giao lộ sẽ biến mất, do đó, hệ thống sẽ không có một giải pháp cổ điển. Hệ thống chỉ có thể có một giải pháp cổ điển, là vô điều kiện, vì hai đường thẳng không trùng và không song song chỉ có thể có một điểm Giao lộ .

Các video liên quan

TẠI ngày xưa Tôi thích đồ họa máy tính, cả 2D và 3D, bao gồm cả hình ảnh hóa toán học. Điều được gọi là chỉ cho vui, khi còn là một sinh viên, tôi đã viết một chương trình hiển thị các hình N chiều quay theo bất kỳ chiều nào, mặc dù trong thực tế, tôi chỉ đủ để xác định các điểm cho một siêu hình lập phương 4-D. Nhưng đây chỉ là một gợi ý. Tình yêu hình học vẫn còn với tôi kể từ đó và cho đến ngày nay, và tôi vẫn thích giải nhiệm vụ thú vị những cách thú vị. Một trong những nhiệm vụ này đến với tôi vào năm 2010. Bản thân nhiệm vụ khá đơn giản: cần phải tìm xem hai đoạn 2-D có giao nhau hay không, và nếu chúng cắt nhau, hãy tìm điểm giao của chúng. Thú vị hơn là giải pháp, theo tôi, hóa ra khá thanh lịch và tôi muốn đề xuất với người đọc. Tôi không giả vờ là bản gốc trong thuật toán (mặc dù tôi muốn), nhưng tôi không thể tìm thấy các giải pháp tương tự trên mạng. Nhiệm vụHai đoạn được cho, mỗi đoạn được cho bởi hai điểm: (v11, v12), (v21, v22). Cần phải xác định xem chúng có cắt nhau không, và nếu chúng cắt nhau thì tìm giao điểm của chúng. Quyết địnhĐầu tiên bạn cần xác định xem các đoạn có cắt nhau không. Cần thiết và đủ điều kiện giao điểm phải được quan sát cho cả hai đoạn như sau: điểm cuối của một trong các đoạn phải nằm trong các nửa mặt phẳng khác nhau, nếu mặt phẳng được chia bởi đường mà phần thứ hai của đoạn nằm trên đó. Hãy chứng minh điều này bằng một hình vẽ.

Hình bên trái (1) cho thấy hai đoạn, cả hai đều đáp ứng điều kiện và các đoạn cắt nhau. Trong hình (2) bên phải, điều kiện được đáp ứng cho đoạn b, nhưng đối với đoạn a thì không được đáp ứng, tương ứng là các đoạn không cắt nhau. Có vẻ như việc xác định điểm nằm ở phía nào của đường thẳng không phải là một nhiệm vụ tầm thường, nhưng nỗi sợ hãi luôn có đôi mắt to và mọi thứ không quá khó khăn. Chúng ta biết rằng phép nhân vectơ của hai vectơ sẽ cho chúng ta vectơ thứ ba có hướng phụ thuộc vào việc nó dương hay góc âm giữa vectơ đầu tiên và vectơ thứ hai, tương ứng, một phép toán như vậy là phản biến đổi. Vì tất cả các vectơ đều nằm trên Máy bay X-Y, thì tích vectơ của chúng (phải vuông góc với vectơ được nhân) sẽ chỉ có thành phần khác không Z, và sự khác biệt trong tích của các vectơ sẽ chỉ ở thành phần này. Hơn nữa, khi thay đổi thứ tự của phép nhân vectơ (đọc là: góc giữa các vectơ được nhân), nó sẽ chỉ phù hợp với việc thay đổi dấu của thành phần này. Do đó, chúng ta có thể nhân véc tơ-từng cặp véc tơ của đoạn phân cách với các vectơ hướng từ đầu đoạn phân tách đến cả hai điểm của đoạn đã kiểm tra.

*
Nếu thành phần Z của cả hai sản phẩm sẽ có dấu hiệu khác nhau, khi đó một trong các góc nhỏ hơn 0 nhưng lớn hơn -180, và góc thứ hai lớn hơn 0 và nhỏ hơn 180, tương ứng, các điểm nằm dọc theo các mặt khác nhau từ một đường thẳng. Nếu thành phần Z của cả hai sản phẩm có cùng dấu, vì vậy chúng nằm trên cùng một phía của đường thẳng. Nếu một trong các thành phần Z bằng 0, thì chúng ta có trường hợp đường viền khi điểm nằm chính xác trên đường đang được kiểm tra. Hãy để nó cho người dùng quyết định xem anh ta có muốn coi đây là một giao lộ hay không. Sau đó, chúng ta cần lặp lại thao tác cho một đoạn thẳng và một đoạn thẳng khác, và đảm bảo rằng vị trí của các điểm cuối của nó cũng thỏa mãn điều kiện. Vì vậy, nếu mọi thứ đều ổn và cả hai đoạn đều thỏa mãn điều kiện, thì giao điểm tồn tại. Hãy cùng tìm hiểu và sản phẩm vector cũng sẽ giúp chúng ta điều này. Vì trong tích vectơ, chúng ta chỉ có thành phần Z khác 0, nên môđun của nó (độ dài của vectơ) sẽ bằng số với thành phần cụ thể này. Hãy xem cách tìm giao điểm.
*
Độ dài của tích vectơ của vectơ a và b (như chúng ta đã tìm hiểu, về mặt số học bằng thành phần Z của nó) bằng tích của môđun của các vectơ này và sin của góc giữa chúng (| a | | b | sin (ab)). Theo đó, với cấu hình trong hình, chúng ta có như sau: | AB x AC | = | AB || AC | sin (α), và | AB x AD | = | AB || AD | sin (β). | AC | sin (α) là đường vuông góc từ điểm C đến đoạn AB và | AD | sin (β) là đường vuông góc từ điểm D đến đoạn AB (chân ADD ") Vì góc γ và δ là góc thẳng đứng, thì chúng bằng nhau, có nghĩa là các tam giác PCC "và PDD" tương tự nhau, và theo đó, độ dài của tất cả các cạnh của chúng đều tỷ lệ bằng nhau. Cho Z1 (AB x AC, do đó | AB || AC | sin (α)) và Z2 (AB x AD, do đó | AB || AD | sin (β)), chúng ta có thể tính CC "/ DD" (sẽ bằng Z1 / Z2), và cũng biết rằng CC "/ DD" = CP / DP, bạn có thể dễ dàng tính được vị trí của điểm P. Cá nhân tôi làm như sau:

Px = Cx + (Dx-Cx) * | Z1 | / | Z2-Z1 |; Py = Cy + (Dy-Cy) * | Z1 | / | Z2-Z1 |;

Đó là tất cả. Đối với tôi, nó thực sự rất đơn giản và thanh lịch. Tóm lại, tôi muốn cung cấp một mã chức năng triển khai thuật toán này. Hàm sử dụng một vector mẫu tự tạo , là một mẫu vectơ có kích thước int với các thành phần là tên kiểu. Những người muốn có thể dễ dàng điều chỉnh hàm với các loại vectơ của riêng họ.

1 mẫu bool are_crossing (vectơ const & v11, vectơ const & v12, vectơ const & v21, vectơ const & v22, vectơ * băng qua) 3 (4 vector cut1 (v12-v11), cut2 (v22-v21); 5 vectơ prod1, sản2; 6 7 prod1 = cross (cut1 * (v21-v11)); 8 prod2 = cross (cut1 * (v22-v11)); 9 10 if (sign (prod1 ) == sign (prod2 ) || (prod1 == 0) || (prod2 == 0)) // Cũng cắt các trường hợp cạnh 11 trả về sai; 12 13 prod1 = cross (cut2 * (v11-v21)); 14 prod2 = cross (cut2 * (v12-v21)); 15 16 if (sign (prod1 ) == sign (prod2 ) || (prod1 == 0) || (prod2 == 0)) // Cũng cắt các trường hợp cạnh 17 trả về sai; 18 19 if (giao nhau) (// Kiểm tra xem chúng ta có cần xác định giao điểm 20 (* giao nhau) = v11 + cut1 * fabs (prod1 ) / fabs (prod2 > - prod1 ); 21 (* giao nhau) = v11 + cut1 * fabs (prod1 ) / fabs (prod2 -prod1 ); 22) 23 24 trả về true; 25)

Cho hai đường thẳng và yêu cầu tìm giao điểm của chúng. Vì điểm này thuộc hai đường cho trước nên tọa độ của nó phải thỏa mãn cả phương trình của đường thứ nhất và phương trình của đường thứ hai.

Như vậy, để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ta giải hệ phương trình

*

Ví dụ 1. Tìm giao điểm của các đường thẳng và

Quyết định. Chúng ta sẽ tìm tọa độ của giao điểm mong muốn bằng cách giải hệ phương trình

*

Giao điểm M có tọa độ là

Hãy để chúng tôi chỉ ra cách xây dựng một đường thẳng từ phương trình của nó. Để vẽ một đường thẳng, chỉ cần biết hai trong số các điểm của nó là đủ. Để vẽ biểu đồ của mỗi điểm này, chúng tôi cho một giá trị tùy ý cho một trong các tọa độ của nó, và sau đó từ phương trình, chúng tôi tìm giá trị tương ứng của tọa độ kia.

Nếu trong phương trình tổng quát của một đường thẳng, cả hai hệ số tại tọa độ hiện tại đều không bằng 0 thì để dựng đường thẳng này, cách tốt nhất là tìm các giao điểm của nó với các trục tọa độ.

Ví dụ 2. Dựng đoạn thẳng.

Quyết định. Tìm giao điểm của đường thẳng này với trục x. Để làm điều này, chúng ta cùng nhau giải các phương trình của chúng:

*

và chúng tôi nhận được. Do đó, điểm M (3; 0) của giao điểm của đường thẳng này với trục abscissa đã được tìm thấy (Hình 40).

*

Sau đó giải cùng phương trình của đường thẳng đã cho và phương trình của trục y

*

chúng ta tìm giao điểm của đường thẳng với trục y. Cuối cùng, chúng ta dựng một đoạn thẳng từ hai điểm M và

Khi giải quyết một số vấn đề hình học phương pháp tọa độ phải tìm tọa độ giao điểm của các đường. Thông thường, người ta phải tìm tọa độ của giao điểm của hai đường trên mặt phẳng, nhưng đôi khi nó trở nên cần thiết để xác định tọa độ của giao điểm của hai đường trong không gian. Trong bài này, chúng ta sẽ đề cập đến việc tìm tọa độ của điểm mà tại đó hai đường thẳng cắt nhau.

Điều hướng trang.

Giao điểm của hai đường thẳng là một định nghĩa.

Đầu tiên chúng ta hãy xác định giao điểm của hai đường thẳng.

Như vậy, để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng xác định trên mặt phẳng phương trình tổng quát, bạn cần giải một hệ thống gồm các phương trình của các đường thẳng đã cho.

Hãy xem xét một giải pháp ví dụ.

Ví dụ.

Xem thêm: Chia Sẻ 5 Lời Khuyên Cho Sinh Viên Mới Ra Trường Nên Biết, Một Số Lời Khuyên Cho Sinh Viên Mới Ra Trường

Tìm giao điểm của hai đường thẳng xác định trong hệ thống hình chữ nhật tọa độ trên mặt phẳng theo các phương trình x-9y + 14 = 0 và 5x-2y-16 = 0.

Quyết định.

Chúng tôi được cung cấp hai phương trình tổng quát của các đường, chúng tôi sẽ lập một hệ thống từ chúng:

*
. Các nghiệm của hệ phương trình thu được có thể dễ dàng tìm thấy nếu phương trình đầu tiên của nó được giải theo biến x và biểu thức này được thay vào phương trình thứ hai:
*

Nghiệm tìm được của hệ phương trình cho ta tọa độ mong muốn của giao điểm của hai đường.

Trả lời:

M 0 (4, 2) x-9y + 14 = 0 và 5x-2y-16 = 0.

Vì vậy, việc tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng xác định bằng phương trình tổng quát trên mặt phẳng được rút gọn thành giải hệ hai phương trình tuyến tính với hai biến chưa biết. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu các đường thẳng trên mặt phẳng không được cho bởi các phương trình tổng quát, mà là các phương trình khác loại (xem các loại phương trình của một đường thẳng trên mặt phẳng)? Trong những trường hợp này, trước tiên bạn có thể đưa phương trình của các đường về dạng tổng quát và chỉ sau đó tìm tọa độ của giao điểm.

Ví dụ.

và .

Quyết định.

Trước khi tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng đã cho, ta rút gọn phương trình của chúng thành nhìn chung. Chuyển từ phương trình tham số sang một đường thẳng phương trình tổng quát của đường thẳng này như sau:

*

Bây giờ chúng ta sẽ thực hiện các hành động cần thiết với phương trình chính tắc của đường:

Như vậy, tọa độ mong muốn của giao điểm của các đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình có dạng

*
. Chúng tôi sử dụng để giải quyết nó:
*

Trả lời:

M 0 (-5, 1)

Có một cách khác để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong mặt phẳng. Nó là thuận tiện để sử dụng nó khi một trong các đường được cho bởi phương trình tham số có dạng

*
và khác - phương trình của một đường thẳng có dạng khác. Trong trường hợp này, trong một phương trình khác, thay vì các biến x và y, bạn có thể thay thế các biểu thức
*
*
, từ đó sẽ có thể nhận được giá trị tương ứng với giao điểm của các đường đã cho. Trong trường hợp này, giao điểm của các đường thẳng có tọa độ.

Hãy tìm tọa độ giao điểm của các đường từ ví dụ trước theo cách này.

Ví dụ.

Xác định tọa độ giao điểm của các đường và .

Quyết định.

Thay thế trong phương trình của biểu thức trực tiếp:

*

Giải phương trình kết quả, chúng tôi nhận được. Giá trị này tương ứng với điểm chung của các đường và . Chúng tôi tính toán tọa độ của giao điểm bằng cách thay thế vào phương trình tham số thẳng:

*
.

Trả lời:

M 0 (-5, 1).

Để hoàn thành bức tranh, một điểm nữa cần được thảo luận.

Trước khi tìm tọa độ của giao điểm của hai đường trong mặt phẳng, điều hữu ích là đảm bảo rằng các đường đã cho thực sự cắt nhau. Nếu hóa ra các đường ban đầu trùng hoặc song song thì việc tìm tọa độ giao điểm của các đường đó là điều không cần bàn cãi.

Tất nhiên, bạn có thể làm mà không cần kiểm tra như vậy và lập tức soạn một hệ phương trình dạng

*
và giải quyết nó. Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì nó cho tọa độ của điểm mà các đường thẳng ban đầu cắt nhau. Nếu hệ phương trình không có nghiệm thì ta có thể kết luận rằng các đường thẳng ban đầu là song song (vì không tồn tại cặp số thực x và y thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình của các đường thẳng đã cho). Từ sự có mặt của vô số nghiệm của hệ phương trình, ta thấy rằng các đường thẳng ban đầu có vô số điểm chung, tức là chúng trùng nhau.

Hãy xem các ví dụ phù hợp với những tình huống này.

Ví dụ.

Tìm xem các đường thẳng và cắt nhau, và nếu chúng cắt nhau, sau đó tìm tọa độ của giao điểm.

Quyết định.

phương trình đã cho dòng tương ứng với các phương trình

*
*
. Hãy giải hệ thống bao gồm các phương trình này
*
.

Rõ ràng, các phương trình của hệ được biểu thị tuyến tính qua nhau (phương trình thứ hai của hệ nhận được từ phương trình thứ nhất bằng cách nhân cả hai phần của nó với 4), do đó, hệ phương trình có tập hợp vô hạn các giải pháp. Do đó, các phương trình và xác định cùng một đường thẳng, và chúng ta không thể nói về việc tìm tọa độ giao điểm của các đường này.

Trả lời:

Phương trình và xác định cùng một đường thẳng trong hệ trục tọa độ hình chữ nhật Oxy nên ta không thể nói đến việc tìm tọa độ giao điểm.

Ví dụ.

Tìm tọa độ giao điểm của các đường và , nếu có thể.

Quyết định.

Điều kiện của bài toán thừa nhận rằng các đường có thể không cắt nhau. Hãy lập một hệ thống các phương trình này. Có thể áp dụng cho giải pháp của nó, vì nó cho phép bạn thiết lập sự tương thích hoặc không nhất quán của hệ phương trình và nếu nó tương thích, hãy tìm một giải pháp:

*

Phương trình cuối cùng của hệ sau quá trình trực tiếp của phương pháp Gauss đã biến thành một đẳng thức sai, do đó, hệ phương trình không có nghiệm. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng các đường ban đầu là song song và chúng ta không thể nói về việc tìm tọa độ giao điểm của các đường này.

Giải pháp thứ hai.

Chúng ta hãy tìm xem các đường thẳng đã cho có cắt nhau không.

- vectơ đường thẳng bình thường và vectơ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng . Hãy kiểm tra việc thực hiện và : bình đẳng

*
là đúng, do đó, vectơ bình thường dòng đã cho thẳng hàng. Khi đó, các đường thẳng này song song hoặc trùng nhau. Như vậy ta không tìm được tọa độ giao điểm của các đường ban đầu.

Trả lời:

Không thể tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng đã cho vì các đường thẳng này song song với nhau.

Ví dụ.

Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng 2x-1 = 0 và nếu chúng cắt nhau.

Quyết định.

Ta lập hệ phương trình là phương trình tổng quát của các đường thẳng đã cho:

*
. Định thức của ma trận chính của hệ phương trình này khác 0
*
nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất là giao điểm của các đường thẳng đã cho.

Để tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng ta cần giải hệ:

*

Giải pháp kết quả cung cấp cho chúng tôi tọa độ của giao điểm của các đường, nghĩa là 2x-1 = 0 và.

Trả lời:

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong không gian.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trong không gian ba chiềuđược đặt tương tự.

Hãy xem xét các ví dụ.

Ví dụ.

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng cho trong không gian bằng phương trình

*
*
.

Quyết định.

Ta lập một hệ phương trình từ phương trình của các đường thẳng đã cho:

*
. Lời giải của hệ này sẽ cho ta tọa độ mong muốn của giao điểm của các đường trong không gian. Hãy để chúng tôi tìm nghiệm của hệ phương trình đã viết.